4. 生成量と研究仮説が正しい確率

https://gyazo.com/4f7dfd91756d579cff6ea820ee6ff329

母数の事後分布は母数に関する推測的知見を与える

予測分布は将来のデータに関する予測的知見を与える

4.1. 生成量1

MCMC法に生成量を付加すると、きわめて強力な分析が可能になる

$ g(\hat\bm\theta)_{eap} = \frac{1}{T}(g(\bm\theta^{(1)}) + \cdots + g(\bm\theta^{(t)}) + \cdots + g(\bm\theta^{(T)})) \qquad (4.1)

%点を利用すれば生成量の確信区間も求まる

RQ.6 分散の点推定・区間推定

e.g. 分散は標準偏差の2乗である。標準偏差のEAPの2乗は分散のEAPだろうか。標準偏差のMEDの2乗は分散のMEDだろうか。また標準偏差の確信区間の上限や下限を2乗すると分散のそれになるだろうか

RQ.7 変動係数の点推定・区間推定

e.g. 平均値に対する測定値の平均的な揺れは何割だろうか

RQ.8 効果量の点推定

e.g. 平均的な測定値と実時間30秒との差は、平均的な測定値の散らばりと比較してどれ程の大きさだろうか

RQ.9 効果量の区間推定

e.g. 効果量は、どの区間に存在するのだろうか

RQ.10 %点の点推定・区間推定

e.g. 何秒より短い測定値が、4回に1回は観測されるだろうか。またその値は、どの区間に存在するのだろうか

RQ.11 特定区間での観測確率

RQ.12 基準点との比の点推定・区間推定

研究状の問いに答えるために有用な生成量の例

https://gyazo.com/584e7f08b9878c056559c7fb1338e037

4.1.1. 分散

分散の事後分布は生成量

$ g(\sigma^{(t)}) = \sigma^{(t)2} \qquad (4.2)

で求められる

https://gyazo.com/84e2e14adbe451f1c97efb8a79c7b052

標準偏差の事後分布である図3-4と比較して分散の事後分布図4-1はさらに正の歪みが強く(右に裾が重たく)なっていることが観察される

2乗すると極端な値になるため

図の右側にはデータがないように見えるが、最大値は41付近にまで達している

平均の2条は2乗の平均に一致しないから、EAPに関しては

$ 5.33 = \hat\sigma^2_{eap} \neq (\hat \sigma_{eap})^2 = 2.27^2 = 5.15 \qquad (4.3)

であり、標準偏差のEAPの2乗は分散のEAPには一致しない

同様に標準偏差のpost.sdの2乗は分散のpost.sdには一致しない

単調増加変換をしても%点の順序は保存される

したがって、50%点の2乗は2乗の50%点に一致する

具体的にMEDに関しては

$ 4.92 = \hat \sigma^2_{med} = \hat \sigma^2_{med} = (\hat \sigma_{med})^2 = 2.22^2 = 4.92 \qquad (4.4)

であり、標準偏差のMEDの2乗は分散のMEDに一致していることが確認できる

また標準偏差の95%確信区間の上限・下限の2乗は、分散の95%確信区間の上限・下限に一致する(RQ.6への回答)

有効数字の影響で前者の2乗が後者に正確には一致しない場合もあるが、有効数字をあげると一致する

要するに、積率系の統計量は一致せず、分位系の統計量は一致する

4.1.2. 間隔尺度・比率尺度

e.g. 時間0秒・重さ0kg・長さ0m

比率尺度は絶対0点を基準に比を考えることができる

連続的な値をとる測定特性のうち、絶対0点のないもの

e.g. 摂氏0度、試験0点

4.1.3. 変動係数

測定値が比率尺度である場合には、散布度の指標として変動係数が計算できる

$ cv = \frac{\sigma}{\mu} \qquad (4.5)

変動係数は単位のない指標であり、平均値に対する相対的なばらつきを表す

変動係数の事後分布は生成量

$ g(\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) = \frac{\sigma^{(t)}}{\mu^{(t)}} \qquad (4.6)

で求める。

図4-2を観察すると右に裾が重たい

https://gyazo.com/1ff17b3bb3563a23e602682fceb84aaf

4.1.4. 基準点

ここで大切なことは、基準点や基準確率が統計学とはまったく関係ない知見に基づいて設定されるということ

統計的分析においてもっとも大切なことは、常に研究上の問いを自覚し、実質科学的知見を最大限利用すること

4.2. 生成量2

4.2.1. 効果量

標準偏差を単位として、平均が基準点からどれくらい離れているかの指標に

$ \delta_c = \frac{\mu - c}{\sigma} \qquad (4.7)

がある。

効果量の事後分布は生成量

$ g(\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) = \frac{\mu^{(t)} - c}{\sigma^{(t)}} \qquad (4.8)

で求められる

https://gyazo.com/44c36ace520e1459cfbd68975431be16

4.2.2. 分位点・%点

ここまでは母数に関係した生成量の事後分布を論じてきた

$ g(\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) = \mu^{(t)} + z \times \sigma^{(t)} \qquad (4.9)

のような生成量で利用できる

たとえば「何秒より短い測定値が4回に1回は観測されるだろうか」という疑問に答えるためには、25%点を調べればよい

https://gyazo.com/0f399e29f5ec77012429177718988667

気象庁は、週間天気予報の降水確率に信頼度A, B, Cを付帯させている

Aは「確度が高い予報」

Bは「確度がやや高い予報」

Cは「確度がやや低い予報」

これは確率の区間推定であり、AよりCは区間が広くなっていることを意味し、メタ確率の1種

4.2.3. 特定区間での観測確率

$ F(x^* = a|\bm x) - F(x^* = b|\bm x) \qquad (4.10)

の事後分布は、モデル生成分布の確率分布関数を利用して、生成量

$ g(\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) = F(a|\mu^{t}, \sigma^{(t)} - F(b|\mu^{(t)}), \sigma^{(t)}) \qquad (4.11)

で求められる

正規分布(を初めとする有名な分布)の確率分布関数は多くの統計解析システムに実装されている

%点を調べると「ある確率で起きることはどんなことだろうか」という疑問に答えることができる

つまり(4.9)式を使うということは、確率を固定して現象を調べるということ

(4.11)式を使うと逆に「ある現象はどの程度の確率で起きるだろうか」という疑問に答えることができる

つまり、現象を固定して確率を考察できる

たとえば「人間は機械ではないから、ピタリ言い当てるのには限界がある。1秒の幅を設けて的中とするならば、測定値が29.5秒以上30.5秒未満である確率はどれほどだろうか」ということが知りたければ

$ g(\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) = F(30.5|\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) - F(29.5|\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) \qquad (4.12)

という生成量を利用する

https://gyazo.com/95d9e4e5e1e015b2a7727932f84922db

これもメタ確率の表現になっている(RQ.11への回答)

条件付き予測分布には、簡便性以外の大きなメリットがある

表3-2の事後予測分布の%点は文字通り点

一方、条件付き予測分布の表4-1の%点は分布をしている

確信区間が求まるのであるから、その点で条件付き予測分布の方が有利

4.2.4. 比の分布

基準点に対する測定値の比

$ x^*/c \qquad (4.13)

の事後分布は、生成量

$ g(x^{*(t)}) = x^{*(t)}/c \qquad (4.14)

で求められる

実時間30秒に対する、測定値の比はどれほどだろうか

https://gyazo.com/cdec00f40f1264832c7dcfeea0a8012c

4.3. 研究仮説が正しい確率

研究仮説の真偽を表現する2値変数の生成量を構成すると、その研究仮説が正しい確率を調べることができる

研究仮説は「AはBである」という形式の命題で表現される

$ u^{(t)} = g(\bm \theta^{(t)}) = \begin{cases} 1 & \bm\theta^{(t)}に関して研究仮説Uが真 \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (4.15)

RQ.13 平均値が基準値より小さい(大きい)確率

e.g. 平均的な測定値が、実時間30秒より長い確率は何%だろうか

RQ.14 特定区間での観測確率

e.g. 測定値が29.5秒より大きく30.5秒より小さい確率

RQ.15 効果量が基準点より小さい(大きい)確率

e.g. 基準点30の効果量が0.5より大きい確率はどれほどだろうか

RQ. 16 特定区間での観測確率が、基準確率より大きい(小さい)確率

e.g. 測定値が29.5秒より長く30.5秒より短い確率が20%より小さいという信念はどれほど正しいだろうか

https://gyazo.com/388e96604a89449085ba30943e3a36c4

$ u^{(t)}_{\mu<c} = g(\mu^{(t)}) = \begin{cases} 1 & \mu^{(t)} < c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (4.16)

のEAPで評価できる

表3-2を調べると「ある確率で起きることはどんなことだろうか」という疑問に答えることができる

$ u^{(t)}_{b<x^*<a} = g(x^{*(t)}) = \begin{cases} 1 & b < x^{*(t)} < a \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (4.17)

のEAPで評価される

これは予測分布に基づく推論である

条件付き予測分布を利用した表4-1では、16%だった。

有効数字2桁目まで一致した

異なった推定量であるから、理論的には必ずしも一致はしない

確率の確率である確信区間を計算できるという意味では、条件付き予測分布(の分布)を利用したほうが有利である

$ u^{(t)}_{\delta_c<c'} = g(\delta^{(t)}_c) = \begin{cases} 1 & \delta^{(t)}_c < c' \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (4.18)

のEAPで評価される

$ u^{(t)}_{p(b<x^*<a)<c} = \begin{cases} 1 & F(a|\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) - F(b|\mu^{(t)}, \sigma^{(t)}) < c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (4.19)

のEAPで評価される

4.4. 論文・レポートでの報告文例

論文やレポートで報告する際には、無駄なくかつ正確に記述する必要がある

考察の文例は必ずしも一意でない著者の視点を必要とするので割愛する

放送授業

データの要約的記述には標本分散を利用し、母集団の推定には不偏分散を利用する、と習うことがある

これは明確な誤り

だから標本分散も母分散を推定するための統計量として立派に利用できる

そもそも分散とは

数値要約の一種で、散布度に関する要約統計量

偏差の2乗の平均

真の値は誰も知らないけれど1点に固定した母分散に不偏分散の平均が一致する

ベイズ的アプローチでは、母数が確率的に分布するので、通常の意味での普遍性という概念はなくなる